| 一．方差的概念与计算公式 例1 两人的5次测验成绩如下： X： 50，100，100，60，50 E(X )=72； Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里 是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。 其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2． D(CX )=C2 D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X 、Y 相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 方差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n （n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值） 方差公式：S²=〈(M－x1)²+(M－x2)²+(M－x3)²+…+(M－xn)²〉╱n 三．常用分布的方差 1．两点分布 2．二项分布 X ~ B ( n, p ) 引入随机变量 Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） 7.t分布 :其中X~T（n），E（X）=0；D（X）=n/(n-2); 8.F分布：其中X~F（m,n）,E(X)=n/(n-2); 正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2 求上节例2的方差。 解 根据上节例2给出的分布律，计算得到 工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。 方差的定义： 设一组数据x1,x2,x3······xn中，各组数据与它们的平均数x（拔）的差的平方分别是（x1-x拔）²，（x2-x拔）²······（xn-x拔）²，那么我们用他们的平均数s2=1/n【（x1-x拔）²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。 |
